Tangentiaalinen nelikulmio

Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.^[1][2]

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista engl. tangential quadrilateral.^[1]

Ominaisuuksia

• Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d),}$ missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa ${\displaystyle s=a+c=b+d,}$ eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä.^[1][2] Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.^[3]
• Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.^[3]
• Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\cdot \tan {\frac {\gamma }{2}}=1}$ ja ${\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\cdot \tan {\frac {\delta }{2}}=1.}$ ^[2]
• Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.^[3]
• Tällaisen nelikulmion pinta-ala on ${\displaystyle A=rs,}$ ^[1] missä ${\displaystyle r}$ on sisäympyrän säde.
• Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}}$ ^[1]

${\displaystyle ={\sqrt {\frac {bcd+acd+abd+abc}{a+b+c+d}}}}$ ^[2]

missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Erikoistapauksia

Neliö

Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}a}$ ^[4] sekä ${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.}$

Neljäkäs

Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli ${\displaystyle \beta =90^{\circ }-\alpha }$. Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten ${\displaystyle \alpha =2\gamma }$ eli ${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha }$.

Jos päätetään aluksi kulma ${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha }$, voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = t_A ja JB = t_B, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun

${\displaystyle a=t_{A}+t_{B}}$.^[5]

Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista

${\displaystyle t_{A}=r\cot \gamma }$ (kolmiosta ${\displaystyle \Delta AJO}$) ^[6]

ja

${\displaystyle t_{B}=r\tan \gamma }$ (kolmiosta ${\displaystyle \Delta OJB}$).^[6]

Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta

${\displaystyle a=t_{A}+t_{B}=r\cot \gamma +r\tan \gamma =r(\cot \gamma +\tan \gamma )}$ eli

${\displaystyle r={\frac {a}{\cot \gamma +\tan \gamma }}}$.

Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat ^[7]

${\displaystyle S_{1}^{4}=t_{A}+t_{B}+t_{C}+t_{D}=2t_{A}+2t_{B}=2(t_{A}+t_{B})}$,

koska t_A = t_C ja t_B = t_D, ja vielä

${\displaystyle S_{3}^{4}=t_{A}t_{B}t_{C}+t_{B}t_{C}t_{D}+t_{C}t_{D}t_{A}+t_{D}t_{A}t_{B}=2(t_{A}^{2}t_{B}+t_{A}t_{B}^{2})=2t_{A}t_{B}(t_{A}+t_{B})}$.

Polynomi saa muodon

${\displaystyle S_{1}^{4}r^{2}-S_{3}^{4}=0}$ ^[8] eli

${\displaystyle 2(t_{A}+t_{B})r^{2}-2t_{A}t_{B}(t_{A}+t_{B})=0}$

jonka positiivinen juuri on

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {2t_{A}t_{B}{\cancel {(t_{A}+t_{B})}}}{2{\cancel {(t_{A}+t_{B})}}}}}={\sqrt {t_{A}t_{B}}}}$.

Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun ${\displaystyle t_{A}=t_{B}={\tfrac {1}{2}}a}$.

Katso myös

• Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
• Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
• Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.

Lähteet

• Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons. Mathematical Communications, 1999, nro 4, s. 197–206. Osijek, Kroatia: University of Osijek. ISSN 1331-0623. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 5.10.2013. (englanniksi)

Viitteet