Paraabeli

Paraabeli (kreik. παραβολή, parabolḗ, vanh. myös parabeli^[1]) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.^[2]

Geometrinen määritelmä ja nimityksiä

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.^[3]

Paraabeli analyyttisessä geometriassa

Pystysuora symmetria-akseli

Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$. Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava.

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos ${\displaystyle a>0}$, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas ${\displaystyle a<0}$, aukeaa paraabeli alaspäin.

Paraabelin ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ huippupisteen x-koordinaatti on

${\displaystyle \displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

${\displaystyle \displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\cdot \left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}.}$

Vaakasuora symmetria-akseli

Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö ${\displaystyle x=ay^{2}+by+c}$. Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.^[3]

Yleinen paraabeli

Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on ${\displaystyle F(u,v)}$ ja jonka johtosuora on muotoa ${\displaystyle ax+by+c=0}$, pätee yhtälö

${\displaystyle {\frac {\left(ax+by+c\right)^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}.\,}$

Paraabeli funktion kuvaajana

Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ parametrit ${\displaystyle a,b}$ ja ${\displaystyle c}$.

Parametri ${\displaystyle a}$ vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin ${\displaystyle a}$ arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella ${\displaystyle a}$:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella ${\displaystyle a}$:lla varustetun alaspäin.

Parametri ${\displaystyle b}$ vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ kuvaajan huippupiste siirtyy ${\displaystyle b}$:n vaihdellessa funktion ${\displaystyle g(x)=-ax^{2}+c}$ kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ huippupisteen koordinaatit ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ ja ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$ toteuttavat yhtälön

${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}=-a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c=-ax^{2}+c,}$

ja ovat siis funktion ${\displaystyle g(x)=-ax^{2}+c}$ kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangentti

Tarkastellaan paraabelia ${\displaystyle y=f(x)=ax^{2}+bx+c}$, missä ${\displaystyle a\not =0}$.

Pisteen ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

${\displaystyle {\begin{cases}x_{i}=x_{0}\pm {\sqrt {\frac {f(x_{0})-y_{0}}{a}}}\\y_{i}=f(x_{i})\end{cases}}}$

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}}$

Kun yo. yhtälön juurrettava ${\displaystyle {\frac {f(x_{0})-y_{0}}{a}}>0}$ saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.

Kun ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, missä ${\displaystyle x_{i}\not =x_{0}}$, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

${\displaystyle y={\frac {y_{i}-y_{0}}{x_{i}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}}$

Paraabelin peilaaminen huippupisteen suhteen

Tarkastellaan paraabelia ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$, ${\displaystyle a\neq 0}$, ja sen peilaamista huippupisteen ${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$ kautta kulkevan tangenttinsa suhteen eli paraabelin "kääntämistä ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:

(1) Peilataan paraabeli ensin ${\displaystyle y}$-akselin suhteen. Tämä vaihtaa ${\displaystyle y}$-koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c}$, jonka huippu on pisteessä ${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$.

(2) Siirretään näin saatua paraabelia ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c}$ pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan ${\displaystyle 2\cdot {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}={\frac {4ac-b^{2}}{2a}}}$. Tämä on selvää, koska huippupisteen ${\displaystyle x}$-koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta ${\displaystyle y}$-koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin

${\displaystyle y=-ax^{2}-bx-c+{\frac {4ac-b^{2}}{2a}}}$

eli

${\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{\frac {2ac-b^{2}}{2a}}}$.

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä ${\displaystyle \left({\frac {b}{2(-a)}},{\frac {4(-a)\cdot {\frac {2ac-b^{2}}{2a}}-(-b)^{2}}{4(-a)}}\right)=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$, siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{2ac-b^{2} \over 2a}}$.

Esimerkki. Paraabelin ${\displaystyle y=2x^{2}+x+1}$ peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis ${\displaystyle y=-2x^{2}-x+0,75}$.

Paraabelin ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ "kääntämisen" kaava on siis: ${\displaystyle y=-ax^{2}-bx+{2ac-b^{2} \over 2a}}$.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.