Murtoviiva

Yksinkertainen avoin murtoviiva, joka ei leikkaa itseään.
Itseään leikkaava avoin murtoviiva.
Suljettu murtoviiva, joka ei leikkaa itseään.

Murtoviiva on geometriassa käyrä, joka koostuu peräkkäisten janojen ketjusta. Riippuen tarkastelutavasta voidaan ketjun ajatella syntyneen kahdella eri tavalla. Murtoviiva muodostuu pistejonosta, jossa kukin piste yhdistetään janalla toiseen pisteeseen. Pistet joko yhdistävät kaksi janaa toisiinsa tai päättävät murtoviivan ollen sen päätepiste. Sitten murtoviiva muodostuu janoista, jotka yhdistetään päätepisteistään toisiinsa siten, että päätepisteessä on yksi toinen jana tai murtoviiva päättyy siihen.[1]

Murtoviivan janoja kutsutaan myös sivuiksi ja janojen välisiä pisteitä kulmapisteiksi tai kärjiksi.[1]

Luokittelua

Avoin murtoviiva

Avoin murtoviiva alkaa ja päättyy, jolloin sillä on kaksi vapaata päätä eli päätepisteet. Avoin murtoviiva voi silti leikata itseään muodostaen silmukoita, mutta sillä ei kokonaisuutena katsota olevan ulko- ja sisäosaa.[2]

  • Monotoninen murtoviiva on sellainen avoin murtoviiva, että sen viereen voidaan piirtää suora, jonka kaikki normaalit leikkaavat murtoviivan korkeintaan kerran.

Jana on yksinkertaisin avoin murtoviiva.[3] Säännöllistä avointa murtoviivaa voidaan kutsua sik-sak-viivaksi tai sahalaidaksi, jos kärjissä on riittävän terävä kulma.

Suljettu murtoviiva

Suljettu murtoviiva muodostaa silmukan tai, jos se leikkaa itseään, useita silmukoita.[1][2]

  • Monikulmioksi kutsutaan yleisesti suljettua murtoviivaa, joka ei leikkaa itseään sivujen kohdilta vaan korkeintaan kulmapisteissä.[1][2][4] Monikulmiot voivat olla konvekseja tai konkaaveja.[5][6]
    • Tasasivuinen monikulmio on sivuiltaan tasasivuinen eli sivujen pituudet ovat aina samat.[1]
    • Säännöllinen monikulmio on tasasivuinen ja säännöllinen eli sen kulmat ovat kaikki samat.[1]
  • Tähdeksi kutsutaan säännöllistä monikulmiota, joka leikkaa itseään säännöllisesti. Tällaisia ovat esimerkiksi pentagrammi, jossa on viisi sakaraa, ja septagrammi, jossa on seitsemän sakaraa. Septagrammeja on kaksi erilaista, joista toisella sisäkulma on noin 77,3° ja toisella 25,8°.[7]

Erityisiä murtoviivoja

  • Säännöllinen murtoviiva, jota kutsutaan "sahalaidaksi" tai "siksak"-viivaksi.
    Säännöllinen murtoviiva, jota kutsutaan "sahalaidaksi" tai "siksak"-viivaksi.
  • Kochin käyrä suljettuna murtoviivana, kun iteroivaa prosessia on toteutettu 7 kertaa. Tässä muodossa kärkien lukumäärä on suuri ja murtoviivan pituus on pitkä.[8]
    Kochin käyrä suljettuna murtoviivana, kun iteroivaa prosessia on toteutettu 7 kertaa. Tässä muodossa kärkien lukumäärä on suuri ja murtoviivan pituus on pitkä.[8]
  • Lineaarinen interpolaatio usean pisteen kautta näyttää murtoviivalta.
    Lineaarinen interpolaatio usean pisteen kautta näyttää murtoviivalta.
  • Eulerin menetelmässä piirretään funktion kuvaajaa aloittamalla kuvaajan alussa käyrältä ja laskemalla seuraavan pisteen käyttäen funktion derivaatan arvoja.
    Eulerin menetelmässä piirretään funktion kuvaajaa aloittamalla kuvaajan alussa käyrältä ja laskemalla seuraavan pisteen käyttäen funktion derivaatan arvoja.

Lähteet

  • Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 22.8.2013.

Viitteet

  1. ↑ a b c d e f Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, s. 8
  2. ↑ a b c Väisälä, K.: Geometria, s. 22–23
  3. ↑ Weisstein, Eric W.: Digon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. ↑ Weisstein, Eric W.: Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. ↑ Weisstein, Eric W.: Simple Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. ↑ Weisstein, Eric W.: Concave Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. ↑ Weisstein, Eric W.: Star Polygon (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, s. 60–61