Metrinen avaruus

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä

^[1] Metrinen avaruus on pari ${\displaystyle (X,d)}$, missä ${\displaystyle X}$ on joukko ja ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon ${\displaystyle X}$ alkioilla ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ja ${\displaystyle z}$ toteuttaa ehdot

1. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (kolmioepäyhtälö),
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,\!}$,
3. ${\displaystyle d(x,x)=0}$, ja
4. ${\displaystyle d(x,y)=0\,\!\implies x=y}$.^[2]

Ehdoista seuraa ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$, sillä ${\displaystyle 0=d(x,x)\leq }$ (1) ${\displaystyle d(x,y)+d(y,x)=}$ (2) ${\displaystyle d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)}$.

Kun ${\displaystyle d}$ toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka.

Metristä avaruutta ${\displaystyle (X,d)}$ kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi ${\displaystyle X}$, jos käytössä oleva metriikka ${\displaystyle d}$ on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden ${\displaystyle X}$ alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua ${\displaystyle d(x,y)}$ pisteiden ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä

• Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa ${\displaystyle X}$ voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä ${\displaystyle d(x,y)=0}$ jos ${\displaystyle x=y}$ ja ${\displaystyle d(x,y)=1}$ muutoin.
• Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.
• Jokaisessa joukossa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,}$ ja ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$ välinen etäisyys on

${\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}}$

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

• Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos ${\displaystyle (X,||\cdot ||)}$ on normiavaruus, niin funktio ${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ,d(x,y)=||x-y||}$ määrää metriikan joukkoon X.
• Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä

Kuulat ja pallot

Olkoon ${\displaystyle (X,d)}$ metrinen avaruus, ${\displaystyle x\in X}$ ja ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}=\{y\in \mathbb {R} :y>0\}}$. Tällöin joukkoa

${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(y,x)<r\}}$

kutsutaan avaruuden ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$-keskiseksi ${\displaystyle r}$-säteiseksi avoimeksi kuulaksi.^[2] Toisin sanoen, ${\displaystyle B(x,r)}$ on niiden pisteiden ${\displaystyle y\in X}$ joukko, joiden etäisyys pisteestä ${\displaystyle x}$ on aidosti pienempi kuin ${\displaystyle r}$. Joukkoa ${\displaystyle B(x,r)}$ kutsutaan myös pisteen ${\displaystyle x}$ kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)=\{y\in X:d(y,x)\leq r\}}$

ja

${\displaystyle S(x,r)=\{y\in X:d(y,x)=r\},}$

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden ${\displaystyle X}$ metriikasta ${\displaystyle d}$, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä ${\displaystyle B_{d}(x,r)}$.

Avoin ja suljettu joukko^[3]

Avaruuden ${\displaystyle (X,d)}$ osajoukko ${\displaystyle U\subseteq X}$ on avoin, jos jokaisella pisteellä ${\displaystyle x\in U}$ on kuulaympäristö ${\displaystyle B(x,r)}$ siten, että ${\displaystyle B(x,r)\subseteq U}$. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään ${\displaystyle X}$:n topologian, ns. tavallisen topologian ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{d}}$; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ topologiaa ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin ${\displaystyle X}$:n metriikka ${\displaystyle d}$ siten, että ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{d}}$.^[2]

Joukko ${\displaystyle F\subseteq X}$ on suljettu, jos sen komplementti ${\displaystyle \complement F}$ on avoin. Joukko ${\displaystyle A\subseteq X}$ voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko

Metrisen avaruuden ${\displaystyle (X,d)}$ osajoukkoa ${\displaystyle A\subseteq X}$ sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}$, että ${\displaystyle d(x,y)<r}$ kaikilla ${\displaystyle x,y\in A}$. Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.^[2]

Pisteen etäisyys joukosta

Metrisen avaruuden pisteen ${\displaystyle x\in X}$ etäisyys joukosta ${\displaystyle A\subseteq X}$ on lyhin etäisyys pisteestä ${\displaystyle x}$ johonkin joukon ${\displaystyle A}$ pisteeseen, toisin sanoen

${\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,y):y\in A\}}$.^[4]

Katso myös

• Avaruus (matematiikka)
• Ultrametrinen avaruus

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.

Viitteet

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
• Kaleva, Osmo: Reaalianalyysi. opintomoniste 141. Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Metrinen avaruus Wikimedia Commonsissa