Carmichaelin luku

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Carmichaelin luvuksi kutsutaan lukuteoriassa sellaista yhdistettyä lukua n, joka toteuttaa ehdon

${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}\,}$

jokaisella kokonaisluvulla a, kun a:n ja n:n suurin yhteinen tekijä on 1. Toisin sanoen Carmichaelin luvut ovat sellaisia kokonaislukuja, jotka ovat näennäisalkulukuja jokaisen kannan suhteen. Siitä seuraa se, että Carmichaelin lukua ei voi todeta yhdistetyksi luvuksi Fermat'n pienen lauseen avulla. Carmichaelin luvut on nimetty amerikkalaisen matemaatikon Robert Carmichaelin mukaan. Carmichaelin luvut ovat Knödelin luvut K₁.

Kymmenen pienintä Carmichaelin lukua ovat 561, 1 105, 1 729, 2 465, 2 821, 6 601, 8 911, 10 585, 15 841 ja 29 341.^[1]

Seuraavassa C(x) tarkoittaa lukua x pienempien Carmichaelin lukujen määrää.

Carmichaelin lukuja on äärettömästi, tämän todistivat ensimmäisenä matemaatikot William Alford, Andrew Granville ja Carl Pomerance vuonna 1994. He todistivat Carmichaelin lukujen määrälle seuraavan alarajan kaikille tarpeeksi suurille luvuille x ja kaikille ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle C(x)\geq x^{(\beta -\epsilon )}}$, missä ${\displaystyle \beta =(1-(2{\sqrt {e}})^{-1}){\frac {5}{12}}=0,290306...>{\frac {2}{7}}}$ eli ${\displaystyle C(x)>x^{\frac {2}{7}}}$.

Vuonna 2005 Glyn Harman todisti vahvemman tuloksen ${\displaystyle C(x)>x^{0,332}}$.

Paul Erdős todisti vuonna 1956 seuraavan ylärajan Carmichaelin lukujen määrälle: jollekin vakiolle k

${\displaystyle C(x)<x\exp {\frac {-k\ln x\ln \ln \ln x}{\ln \ln x}}}$

Carmichaelin luvut ovat melko harvinaisia. Seuraavassa taulukossa on C(x):n arvo muutamille kymmenpotensseille:

• Jokainen Carmichaelin luku on neliövapaa.

• Pariton, neliövapaa yhdistetty luku n on Carmichaelin luku, jos ja vain jos n jakaa Bernoullin luvun ${\displaystyle B_{n-1}}$ nimittäjän.

• Carmichaelin luvuilla on ainakin kolme alkutekijää.

• Muotoa (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1) olevat luvut ovat Carmichaelin lukuja, jos (6k + 1), (12k + 1) ja (18k + 1) ovat kaikki alkulukuja. Pienimmät sellaiset Carmichaelin luvut esiintyvät k:n arvoilla k = 1, 6, 35, 45, 51, 55, 56, 100, 121... (A046025 OEIS:ssä) ja ovat 1729, 294409, 56052361, 118901521... (A033502 OEIS:ssä).

• Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 155–156. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

• Helppotajuinen johdatus Alfordin ja kumppaneiden todistukseen on Matti K. Sinisalo: Carmichaelin lukujen konstruktioista, Esitelmä lukuteorian päivillä 1995 (PDF).
• Carmichael Number (englanniksi)