Ekuazio lineal

Ekuazio lineala lehen mailako ekuazio aljebraiko bat da non ezezagunen berreturak bat diren. Aldagai bateko ekuazio linealen adibide sinpleena hau da: ${\displaystyle ax+b=0}$, non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ konstanteak diren, eta ${\displaystyle a}$ zeroren desberdina. Konstante horiek hainbat motatakoak izan daitezke: zenbakiak, parametroak…

Ekuazio linealek aldagai bat baino gehiago izan ditzakete. Adibidez, hiru aldagaiko (${\displaystyle x,y}$ eta ${\displaystyle z}$) ekuazio lineala honela idatz daiteke: ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$, non ${\displaystyle a,b,c}$ eta ${\displaystyle d}$ konstanteak diren, eta ${\displaystyle a,b}$ eta ${\displaystyle c}$ ez-nuluak. Ekuazio linealak maiz erabiltzen dira Matematikaren hainbat arlotan, bereziki, Matematika Aplikatuan. Gainera, fenomeno fisikoak modelizatzeko erabil daitezke. Izan ere, ekuazio ez-linealak ekuazio linealen bidez hurbil daitezke.

Ekuazioa lineala izango da gai bakoitzeko aldagaien berreturen batura 1 bada. Berretura 1 baino handiagoa duten ekuazioei ez-lineal deritze. Adibidez, ${\displaystyle axy+b=0}$ ekuazioa ez-lineala izango da lehenengo gaiko aldagaien berreturen batura 2 delako ( ${\displaystyle ax^{1}y^{1}\Rightarrow 1+1=2}$). Gainera, funtzio polinomikoak ez diren funtzioak ${\displaystyle (sin(x),cos(x),ln(x),e^{x}...)}$dituzten ekuazioak ez-linealak dira.

Bi aldagairen kasuan, soluzio bakoitza Euklideko planoko puntu baten koordenatu kartesiar gisa interpreta daiteke. Ekuazio lineal baten soluzioek zuzen bat osatzen dute Euklideko planoan, eta, alderantziz, zuzen bakoitza bi aldagaitako ekuazio lineal baten soluzio guztien multzo gisa ikus daiteke. Hura da lineal terminoaren jatorria ekuazioak mota hori deskribatzeko. Orokorrean, n aldagaietako ekuazio lineal baten soluzioek hiperplano bat osatzen dute (n-1 dimentsioko azpiespazio bat) n dimentsioko euklidear espazioan.

Ekuazio linealak maiz gertatzen dira matematika guztietan eta horien aplikazioak fisikan eta ingeniaritzan, neurri batean sistema ez-linealak ekuazio linealen bidez ondo hurbiltzen direlako.

Jarraian, aldagai kopuru desberdinetako ekuazio linealak aztertuko dira. Gainera, funtzio linealen eta inekuazio linealen oinarrizko kontzeptuak azalduko dira.

Aldagai bakarreko ekuazio linealak

Aldagai bakarreko ekuazio linealen forma orokorra hau da:

${\displaystyle ax+b=0}$,

non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zenbaki errealak diren eta ${\displaystyle a}$ zeroren desberdina den.

Ekuazio lineal orokorraren soluzioa hau da:

${\displaystyle x={\frac {-b}{a}}}$.

Edozein beste ekuazio lineal bakandu daiteke aurreko formara, aljebraren oinarrizko legeak aplikatuz. Adibidez, ${\displaystyle 7x+8-3x=-4x+3}$ ekuazioa oso erraz bakanduko dugu ${\displaystyle 8x+5=0}$ itxurara, eta azken hori forma orokorra da.

Bi aldagaiko ekuazio linealak

Bi aldagaiko ekuazio linealen ohiko forma honako hau da:

${\displaystyle y=mx+b,\,}$

non ${\displaystyle m}$ eta ${\displaystyle b}$ konstanteak diren, eta ${\displaystyle m}$ zeroren desberdina.

Mota honetako ekuazioen soluzioak planoan zuzen baten bidez irudika daitezkeelako esaten zaie lineal.

Horregatik, ${\displaystyle y=mx+b}$ ekuazioan ${\displaystyle m}$ konstanteak zuzenaren malda adierazten du eta, ${\displaystyle b}$ konstanteak, zuzenak ${\displaystyle y}$ ardatza zein puntutan mozten duen.

Bi aldagaiko ekuazio linealen adierazpen motak

Ekuazio linealak hainbat modutara berridatz daitezke oinarrizko aljebra erabiliz.

Forma orokorra (estandarra)

Ekuazio linealen forma orokorra honela adierazten da:

${\displaystyle Ax+By=C,\,}$

non ${\displaystyle A}$ eta ${\displaystyle B}$ zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren grafikoa zuzen bat da, eta edozein zuzen aurreko ekuazioaren bidez adieraz daiteke. ${\displaystyle A}$ zeroren desberdina denean, zuzenak ${\displaystyle C/A}$ puntuan ebakiko du ${\displaystyle x}$ ardatza; ${\displaystyle B}$ zeroren desberdina bada, zuzenak ${\displaystyle C/B}$ puntuan ebakiko du ${\displaystyle y}$ ardatza, eta zuzenaren malda ${\displaystyle -A/B}$ izango da. Batzuetan, ekuazio linealaren forma orokorra honela idazten da:

${\displaystyle ax+by+c=0,\,}$

non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren adierazpen batetik bestea lor daiteke konstantea mugituz.

Malda-intersekzio forma

${\displaystyle y=mx+b,\,}$

non ${\displaystyle m}$ konstantea zuzenaren malda den eta ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ardatzaren ebaki-puntua. Hori erraz ikus daiteke: ${\displaystyle x}$-ri zero balioa emanez, ${\displaystyle y=b}$ lortzen da, eta horrek esan nahi du zuzenak ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle b}$ puntuan ebakitzen duela. Forma horren bidez, erraz ikus daiteke zuzena gorakorra edo beherakorra den. Zuzena beherakorra da ${\displaystyle m<0}$ denean, eta gorakorra ${\displaystyle m>0}$ denean.

Puntu-malda forma

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}),\,}$

non ${\displaystyle m}$ konstantea zuzenaren malda den eta ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ zuzeneko edozein puntu.

Forma honek erakusten du ${\displaystyle x}$ ardatzeko bi punturen arteko distantzia ${\displaystyle (x-x_{1})}$ ${\displaystyle y}$ ardatzeko bi punturen arteko distantziarekiko ${\displaystyle (y-y_{1})}$ proportzionala dela. Porportzionaltasun-konstantea ${\displaystyle m}$ da (zuzenaren malda).

Puntu bikoitzeko forma

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}),\,}$

non ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ eta ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ baldintza betetzen duten zuzeneko bi puntu diren. Puntu bikoitzeko forma puntu-malda formaren baliokidea da, zuzenaren malda ${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\,}$eran emanda baitago.

Ekuzioaren bi aldeak ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ balioarekin biderkatuz, forma simetriko deritzon adierazpena lortzen da:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})=(y_{2}-y_{1})(x-x_{1}).\,}$

Oinarrizko propietateak aplikatuz eta gaiak berrantolatuz, honako forma hau lortzen da:

${\displaystyle x\,(y_{2}-y_{1})-y\,(x_{2}-x_{1})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$.

Aurreko adierazpenetik determinante forma lor daiteke:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0\,.}$

Intersekzio-forma

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1,\,}$

non ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zeroren desberdinak diren. Adierazpen honetatik erraz ondoriozta daiteke zuzenak ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle b}$ puntuan ebakiko duela eta ${\displaystyle x}$ ardatza ${\displaystyle a}$ puntuan. Intersekzio-forma forma orokor bezala idatz daiteke ${\displaystyle A/C=1/a}$ eta ${\displaystyle B/C=1/b}$ aldaketak eginez. Jatorritik igarotzen diren zuzenak, zuzen bertikalak eta zuzen horizontalak ezin dira modu horretan adierazi.

Forma matriziala

Forma orokorretik abiatuta, hots, ${\displaystyle Ax+By=C}$ ekuaziotik hasita, forma matriziala lor daiteke:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C\end{pmatrix}}.}$

Gainera, adierazpen hori ekuazio linealen sistemetara heda daiteke.

Adibidez,

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y=C_{1},\,}$

${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y=C_{2},\,}$

ekuazio-sistema honela laburtu daiteke:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\end{pmatrix}}.}$

Adierazpen horren bidez erraz alda daiteke dimentsio handiagoetara; horregatik, aljebra linealean eta programazio matematikoan oso ohiko adierazpena da. Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak, adibidez, Gauss-Jordan metodoa, matrizeko ilaren arteko eragiketak eginez adieraz daitezke.

Forma parametrikoa

${\displaystyle x=Tt+U\,}$ eta ${\displaystyle y=Vt+W.\,}$

Aldibereko bi ekuazio horiek ${\displaystyle t}$ parametroaren arabera idatzita daude. Zuzenaren malda ${\displaystyle V/T}$ izango da, ${\displaystyle x}$ ardatza ${\displaystyle (VU-WT)/V}$ puntuan ebakiko du eta ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle (WT-VU)/T}$ puntuan.

2 dimentsioko bektorearen determinante-forma

Zuzen baten ekuazioa bi bektoreren arteko detemerminante gisa idatz daiteke. ${\displaystyle P_{1}}$ eta ${\displaystyle P_{2}}$ zuzeneko puntuak badira, orduan ${\displaystyle P}$ puntua zuzeneko parte izango da honakoa betetzen bada:

${\displaystyle \det({\overrightarrow {P_{1}P}},{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}})=0.}$

Formula ulertzeko modu bat da bi bektoreren arteko determinanteak puntuek osatzen duten paralelogramoaren azalera ematen digula jakitea. Gainera, determinantea zeroren berdina bada, paralelogramoak ez du azalerarik, eta bi bektoreak zuzen berdina osatzen dutela esaten da.

Zehatzago idatzita esan daiteke ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},\,y_{1})}$, ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},\,y_{2})}$ eta ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ direla. Kasu horretan, ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{1}P}}=(x-x_{1},\,y-y_{1})}$ eta ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}=(x_{2}-x_{1},\,y_{2}-y_{1})}$ direnez, aurreko ekuazioa honela idatz daiteke:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}=0.}$

Adierazpena garatuz,

${\displaystyle (x-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=0.}$

Hau da,

${\displaystyle (x-x_{1})(y_{2}-y_{1})=(y-y_{1})(x_{2}-x_{1}).}$

Ekuazioaren bi aldeetan ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ gaia biderkatuz puntu bikoitzeko forma lortzen da.

Kasu bereziak

• ${\displaystyle y=b\,}$. Ekuazio hau ${\displaystyle A=0}$ eta ${\displaystyle B=1}$ direneko forma orokorraren kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda 0 dela esan daiteke; zuzena horizontala izango da eta, ekuazioak dioen bezala, ${\displaystyle y}$ ardatza ${\displaystyle b}$ puntuan ebakiko du. ${\displaystyle b\neq 0}$ den kasuetan esango dugu zuzenak ez duela ${\displaystyle x}$ ardatza ebakiko. ${\displaystyle b=0}$ denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak ${\displaystyle x}$ ardatzean egongo dira.

• ${\displaystyle x=a\,}$.Ekuazio hau ${\displaystyle A=1}$ eta ${\displaystyle B=0}$ direneko forma orokorraren beste kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda definitu gabea dela esan daiteke; zuzena bertikala izango da eta, ${\displaystyle a\neq 0}$ den kasuetan, esan daiteke zuzenak ez duela ${\displaystyle y}$ ardatza ebakiko. ${\displaystyle a=0}$ denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak ${\displaystyle y}$ ardatzean egongo dira.

Funtzio linealekin duten lotura

${\displaystyle y=f(x)}$ moduan adierazten den eta jatorritik igarotzen den ekuazio linealak honako bi propietate hauek betetzen ditu:

${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})\ }$

eta

${\displaystyle f(ax)=af(x),\,}$

non ${\displaystyle a}$ eskalarra den. Aurreko bi propietateak betetzen dituen funtzioari funtzio lineal deritzo.

Bi aldagai baino gehiagoko ekuazio linealak

Ekuazio linealek bi aldagai baino gehiago izan ditzakete, eta ${\displaystyle n}$ aldagaiko edozein ekuazio lineal modu honetan berridatz daiteke:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b}$,

non ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$koefizienteak zenbaki ez-nuluak diren. ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$aldagaiei ezezagun deritze eta, b koefizienteari, gai aske. Oro har, hiru aldagai edo gutxiago dituzten ekuazio linealak adierazteko, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ eta ${\displaystyle z}$ erabiltzen dira, ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ eta ${\displaystyle x_{3}}$ erabili beharrean.

${\displaystyle n}$ aldagaiko ekuazioan koefiziente guztiak nuluak badira gai askea izan ezik, ekuazio linealak ez du soluziorik izango. Izan ere, ${\displaystyle b=0}$ berdintza lortuko da, ${\displaystyle b\neq 0}$ izanik, eta horrek ez du zentzurik zenbakiak erabiltzen direnean. Gai askea eta koefizienteak nuluak baldin badira, ekuazio linealak infinitu soluzio izango ditu edozein zenbaki-multzotarako beteko baita ekuazioa.

Aldagairen baten koefizientea zeroren desberdina izanez gero, posible da aldagai hori bakantzea. Esaterako, ${\displaystyle i}$.koefizientea ez-nulua bada, ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$, ekuazio lineala modu honetan berridatz daiteke:

${\displaystyle x_{i}=-{\frac {a_{1}x_{1}}{ai}}-{\frac {a_{2}x_{2}}{ai}}-...-{\frac {a_{n}x_{n}}{ai}}}$. Hots, koefiziente ez-nulua duen aldagaia ekuazio linealeko beste aldagaien menpe adieraz daiteke.

Aldai anitzeko ekuazio linealak geometrikoki adieraz daitezke, aldagai bakarreko eta bi aldagaiko ekuazioen antzera. ${\displaystyle n=3}$ denean, soluzio multzoa plano bat da hiru dimentsioko espazio bektorialean; ${\displaystyle n}$ aldagai daudenean, soluzio multzoa ${\displaystyle n-1}$ dimentsioko hiperplanoa da ${\displaystyle n}$ dimentsioko espazio euklidearrean (edo espazio afinean, zenbakiak konplexuak direnean, esaterako).

Ekuazio linealen sistema

Matematikan, ekuazio linealen sistema (edo sistema lineala) deritzo aldagai kopuru bera duten bi ekuazio lineal edo gehiagoren bildumari. Adibidez, bi aldagaiko ekuazio linealen sistema da hau:

${\displaystyle 2x+y=1}$,

${\displaystyle 3x-y=4}$.

Ekuazio linealen sistema baten soluzioak sistemaren ekuazio guztiak bete behar ditu. Aurretik emandako ekuazio linealen sistemaren soluzio bat hau da: ${\displaystyle x=1}$ eta ${\displaystyle y=-1}$. Sistema hitzak adierazten du ekuazio-bilduman dauden ekuazio guztiak batera hartu behar direla kontuan, eta ez bakoitza bere aldetik.

Ekuazio ez-linealez osatutako sistemei ekuazio ez-linealen sistema deritze; ekuazio ez-linealen antzera, ekuazio ez-linealen sistemak ekuazio linealetako sistemen bidez hurbil daitezke.

Inekuazio linealak

Inekuazio lineal esaten zaie berdintza-ikur ordez desberdintza-ikurra duten ekuazio linealei. Horien adibide dira honako hauek:

${\displaystyle x-y\leqslant 0}$

eta

${\displaystyle 2x+y-3z>1}$.

• 
  ${\displaystyle 2x+y-3z>1}$-ren adierazpen geometrikoa
• 
  ${\displaystyle x-y\leqslant 0}$-ren adierazpen geometrikoa

Ariketak

• Ekuazio linealak
• Ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
• Lehenengo mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa.
• Lehenengo mailako ekuazio baten ebazpena lantzeko ariketa II.
• Ekuazio linealen adierazpen grafikoa ulertzeko ariketa.

Bibliografia

• Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3

Kanpo estekak

• Linear Equations and Inequalities Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

• Datuak: Q484637
• Multimedia: Linear equations / Q484637