Azpiespazio bektorial

Azpiespazio bektoriala kontzeptu garrantzitsua da aljebran eta matematikako hainbat arlotan. Testuinguruaren arabera azpiespazio ere deitu ohi zaio beste mota batzuetako azpiespazioekin nahastu ezin denean. Orokorrean, U edo V ikurrak erabiltzen dira azpiespazio bektorialari buruz aritzeko; batzuetan A, B edota W ere ikus daitezke.

Definizioa

Suposatuz V espazio bektoriala dela, K eskalarren gorputza (${\displaystyle \mathbb {R} }$ edo ${\displaystyle \mathbb {C} }$) eta (W,+) egitura (V,+) talde abeldarraren azpitaldea dela, W azpiespazio bektoriala izango da hurrengo baldintzak betetzen baditu:

• ${\displaystyle \lambda \in K,w\in W\Leftrightarrow \lambda w\in W}$
• ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W\Rightarrow (w_{1}+w_{2})\in W}$

Hau da, (1) K gorputzeko edozein eskalar eta W azpiespazio bektorialeko edozein bektoreren arteko biderketa, W-n dago eta (2) W azpiespazio bektorialeko edozein bi bektoreren arteko batura W-n dago.

Eragiketak

${\displaystyle U}$eta ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle V}$ espazio bektorialaren bi azpiespazio izanik,

Ebakidura

${\displaystyle U\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in U\ {\text{eta}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}$

Bi azpiespazioren arteko ebakidura ${\displaystyle V}$-ren azpiespazio da.

Bildura

${\displaystyle U\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in U\ {\text{edo}}\ \mathbf {v} \in W\right\}}$

Bi azpiespazioren bildura normalean ez da ${\displaystyle V}$-ren azpiespazioa.

Batura

${\displaystyle U+W=\left\{u+w:u\in U{\text{ eta }}w\in W\right\}}$

${\displaystyle U}$-ren eta ${\displaystyle W}$-ren bektoreen arteko batura guztien multzoa da

Batura ${\displaystyle V}$-ren azpiespazioa da.

Batura zuzena

${\displaystyle U,W\leq V}$ izanik, beraien arteko batura zuzena dela esango dugu eta ${\displaystyle U\oplus W}$ moduan adierazi, ${\displaystyle U\cap W=\{0\}}$ bada.

Azpiespazio osagarriak

${\displaystyle U}$ eta ${\displaystyle W}$ osagarriak direla esaten da baldin eta beraien arteko batura zuzena ${\displaystyle V}$ bada, hau da,

${\displaystyle S\oplus W=\;V\;\Leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}}$

Azpiespazioen dimentsioak

Izan bitez ${\displaystyle V}$ dimentsio finituko espazio bektoriala eta ${\displaystyle W\leq V}$. Orduan:

1. ${\displaystyle dimW\leq dimV}$. Gainera, ${\displaystyle dimW=dimV}$ dugu baldin eta soilik baldin ${\displaystyle W=V}$ bada.
2. ${\displaystyle W}$-ren edozein oinarri ${\displaystyle V}$-ren oinarri bateraino luza daiteke.

Grassman-en formulak bi azpiespazioren baturaren dimentsioa kalkulatzea ahalbidetzen du. Ondokoa dio:

${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)}$

Batura zuzen baten dimentsioa kalkulatu nahi badugu, badakigu ${\displaystyle U\cap W=0}$ dela, beraz,

${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$

Ikus, gainera

• Bektore

Kanpo estekak

• Datuak: Q728435