En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
- Si
es el número necesario para obtener un éxito. - Si
es el número de fracasos antes del primer éxito.
Definición
Notación
Si una variable aleatoria discreta
sigue una distribución geométrica con parámetro
entonces escribiremos
o simplemente
.
Función de probabilidad
Si la variable aleatoria discreta
se usa para modelar el número total de intentos hasta obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es
entonces la función de probabilidad de
es
![{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p(1-p)^{x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17ab3a9d63b1f479ce193aab500f4cdd4494d66)
para
Función de distribución
Si
entonces la función de distribución está dada por
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [X\leq x]&=\sum _{k=1}^{x}p(1-p)^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{x-1}p(1-p)^{k}\\&=p\sum _{k=0}^{x-1}(1-p)^{k}\\&=p\left({\frac {1-(1-p)^{x-1+1}}{1-(1-p)}}\right)\\&=1-(1-p)^{x}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c237f8811deeea555bfed638bb53427d73363708)
para
Propiedades
Si
considerando que
modela el número de fracasos antes del primer éxito entonces la variable aleatoria
cumple con algunas propiedades:
Media
La media de
, siempre que
modele el número de ensayos hasta obtener el primer éxito,[1] está dada por
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c087baeb7d0158b4d905ca5d8d99aa59d10c7ebc)
Demostración |
Se demuestra fácilmente si consideramos la definición de esperanza
,
donde se consideró la serie geométrica , si | | |
Varianza
La varianza de
está dada por
.
Demostración |
Tenemos que y
Por tanto, |
Función generadora de probabilidad
La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por
.
si
.
Función generadora de momentos
La función generadora de momentos está dada por
![{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92fa83cbe66bfb58080ac0b0fe60efa910071ab)
si
.
Pérdida de Memoria
La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera
.
Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos.
La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria.
Distribuciones relacionadas
- La distribución geométrica
es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro
. Más generalmente, si
son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente con parámetro
entonces
![{\displaystyle Z=\sum _{m=1}^{k}Y_{m}\sim \operatorname {BN} (k,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f27a224b0a64e24af0a7eabfe31ca7359f4a61)
- es decir,
sigue a una distribución binomial negativa con parámetros
y
.
- La distribución geométrica es un caso especial de la distribución compuesta de Poisson.
- Si
son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito pm posibles ), entonces su mínimo
![{\displaystyle W=\min _{m}Y_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa2af8eebe8b4cd3a5ab57ed44201686fb68944)
- también está geométricamente distribuido con parámetro
.
Véase también
Referencias
- ↑ Ross, Sheldon (2009). A First Course in Probability (8th edición). Pearson. p. 545. ISBN 0-13-603313-X.
Enlaces externos
Datos: Q729523
Multimedia: Geometric distribution / Q729523