Sekantensatz

Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt ${\displaystyle P}$, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle D}$ und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$, so gilt:

${\displaystyle {\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

${\displaystyle {\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}}$

Beweis

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke ${\displaystyle APC}$ und ${\displaystyle BPD}$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

1. Der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ in Punkt ${\displaystyle P}$ ist beiden Dreiecken gemeinsam.
2. Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne ${\displaystyle [AB]}$ ergibt ${\displaystyle \angle ADB=\angle ACB}$ oder ${\displaystyle \gamma _{1}=\delta _{1}}$.

${\displaystyle \triangle APC\sim \triangle BPD}$ (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

${\displaystyle {\overline {AP}}:{\overline {BP}}={\overline {CP}}:{\overline {DP}}}$.

Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}}$ erhält man:

${\displaystyle {\overline {AP}}\cdot {\overline {DP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {CP}}}$

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

Siehe auch

• Sehnensatz
• Sekanten-Tangenten-Satz
• Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehen-, Sekenten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
• H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
• Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Sekantensatzes – Lern- und Lehrmaterialien

• Power of a Point Theorem auf cut-the-knot.org