Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte L {\displaystyle {\mathcal {L}}} (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion L {\displaystyle L} in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

L = d 3 r L = d x d y d z L ( ϕ , ϕ t , ϕ x , ϕ y , ϕ z , t ) {\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}

mit dem betrachteten Feld ϕ ( x , y , z , t ) {\displaystyle \phi (x,y,z,t)} .

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

L ϕ i t L ϕ i t j = 1 3 x j L ϕ i x j = L ϕ i μ L ( μ ϕ i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0} .

Beispiel

Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: E = μ = 1 {\displaystyle E=\mu =1} , Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit.

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

L = 1 2 [ μ ( ϕ t ) 2 E ( ϕ x ) 2 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]}

In diesem Beispiel bedeuten:

ϕ = ϕ ( x , t ) {\displaystyle \phi =\phi (x,t)} die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)
μ {\displaystyle \mu } die lineare Massendichte
E {\displaystyle E} den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

L ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0}
L ϕ t = μ ϕ t {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}
L ϕ x = E ϕ x {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

E 2 ϕ x 2 μ 2 ϕ t 2 = 0 {\displaystyle E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0}

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

S = d 4 x g L {\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}}

definiert, wobei g {\displaystyle g} die Determinante des metrischen Tensors ist.[1] Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

L ( x μ ) = L ( x μ ) = L ( x μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })} mit x μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }} , wobei Λ μ ν {\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }} der Lorentz-Transformationstensor ist.

Literatur

  • Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.

Einzelnachweise

  1. Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation. In: American Journal of Physics. Band 77, 2009, S. 839, doi:10.1119/1.3153503.