Fréchet-Ableitung

Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

Definition

Es seien ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|_{X})}$ und ${\displaystyle (Y,\|{\cdot }\|_{Y})}$ zwei normierte Räume und ${\displaystyle U\subset X}$ eine offene Teilmenge. Ein Operator ${\displaystyle A\colon U\to Y}$ heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle \varphi \in U}$, wenn es einen beschränkten linearen Operator ${\displaystyle A'(\varphi )\colon X\to Y}$ derart gibt, dass

${\displaystyle \lim _{\|h\|_{X}\to 0}{\frac {1}{\|h\|_{X}}}\,{\big \|}A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h{\big \|}_{Y}=0}$

gilt. Der Operator ${\displaystyle A'(\varphi )}$ heißt Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle A}$ an der Stelle ${\displaystyle \varphi }$. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle ${\displaystyle \varphi \in U}$, dann heißt die Abbildung ${\displaystyle A'\colon U\to L(X,Y)}$ mit ${\displaystyle \varphi \mapsto A'(\varphi )}$ die Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle A}$ auf ${\displaystyle U}$. Mit ${\displaystyle L(X,Y)}$ wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ bezeichnet.

Hinweis zur Notation: Im klassischen Fall für ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ wird meist der Repräsentant ${\displaystyle f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ des Ableitungsoperators Ableitung genannt. Hier wird aber der daraus resultierende lineare Operator ${\displaystyle x\mapsto f'(x_{0})\,x}$ Ableitung genannt. Bspw. für eine lineare Funktion ${\displaystyle f(x)=C\,x}$ ist der Ableitungsoperator ${\displaystyle x\mapsto f'(x_{0})x=C\,x=f(x)}$, aber es gilt trotzdem ${\displaystyle f'(x_{0})\neq f(x_{0})}$.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt es ein ${\displaystyle \delta >0}$ so, dass für alle ${\displaystyle h\in X}$ mit ${\displaystyle \|h\|\leq \delta }$ gilt

${\displaystyle \|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\|_{Y}\leq \varepsilon \|h\|_{X}}$.

Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

${\displaystyle A(\varphi +h)-A(\varphi )=A'(\varphi )h+o(\|h\|_{X})}$ für ${\displaystyle h\to 0}$.

Beispiele

Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume ${\displaystyle X,Y}$ sind alle linearen Operatoren ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist der Ableitungsoperator der lineare Operator selbst: ${\displaystyle A'(\varphi )=A}$ für alle ${\displaystyle \varphi \in X}$, da sofort gilt: ${\displaystyle A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h=0}$.

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen

Ist ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ definiert ist, und besitzt ${\displaystyle f}$ stetige partielle Ableitungen, dann ist ${\displaystyle f}$ auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x}$ wird durch den üblichen Gradienten von ${\displaystyle f}$ gegeben gemäß:

${\displaystyle f'(x)\colon h\mapsto {\mbox{grad}}f(x)\cdot h=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\,h_{i}}$

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator

Sei ${\displaystyle J=[a,b]\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle k\colon J\times J\to \mathbb {R} }$ stetig und ${\displaystyle f\colon J\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator ${\displaystyle F\colon C(J)\to C(J)}$ definiert durch

${\displaystyle (Fx)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s)f(s,x(s))\mathrm {d} s}$

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung ${\displaystyle F^{\prime }}$ lautet

${\displaystyle (F^{\prime }(x)h)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\,h(s)\mathrm {d} s.}$

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

${\displaystyle f(s,x(s)+h(s))-f(s,x(s))={\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))\,h(s)}$

mit ${\displaystyle 0<\rho (s)<1}$ und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}$ auf ${\displaystyle J\times \{z\in \mathbb {R} :|z|\leq \sup |x|+1\}}$ gilt

${\displaystyle \sup _{s\in J}\left|{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))-{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\right|\leq \epsilon }$

für ${\displaystyle \sup |h|\leq \delta }$. Für ${\displaystyle \sup |h|\leq \delta }$ gilt also

${\displaystyle \sup \left|F(x+h)-F(x)-\int _{a}^{b}k(\cdot ,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))h(s)\mathrm {d} s\right|\leq \epsilon \,\sup |h|\,\max _{(t,s)\in J\times J}|k(t,s)|(b-a),}$

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

• ${\displaystyle (A+B)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )}$
• ${\displaystyle (\lambda A)'(\varphi )=\lambda A'(\varphi )}$.
• Kettenregel: ${\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=(A'\circ B)(\varphi )\,B'(\varphi )}$. Das Produkt ${\displaystyle (A'\circ B)(\varphi )\,B'(\varphi )}$ ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt ${\displaystyle A'(\varphi )=A}$. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: ${\displaystyle (A\circ B)'(\varphi )=A\,B'(\varphi )}$ und ${\displaystyle (B\circ A)'(\varphi )=B'(A(\varphi ))\,A}$.
• Produktregel: Ist ${\displaystyle A:X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y}$ eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist ${\displaystyle A'(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}):(h_{1},\ldots ,h_{n})\mapsto A(h_{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})+\ldots +A(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1},h_{n})}$

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei ${\displaystyle A}$ an der Stelle ${\displaystyle \varphi }$ Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung ${\displaystyle h\in X}$ das Gâteaux-Differential ${\displaystyle \delta A(\varphi ,h)}$ und es gilt:

${\displaystyle \delta A(\varphi ,h)=A'(\varphi )h}$.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von ${\displaystyle A}$ an der Stelle ${\displaystyle \varphi }$, die im Folgenden mit ${\displaystyle A'_{s}(\varphi )}$ bezeichnet wird, und es gilt:

${\displaystyle A'_{s}(\varphi )=A'(\varphi )}$.

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls ${\displaystyle A}$ in einer Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle \varphi }$ Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

${\displaystyle A'_{s}(.)\colon U\to {\mathcal {L}}(X,Y)}$ gegeben durch ${\displaystyle \psi \mapsto A'_{s}(\psi )}$

im Punkt ${\displaystyle \varphi }$ stetig ist bezüglich der Operatornorm auf ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$, so ist ${\displaystyle A}$ im Punkt ${\displaystyle \varphi }$ Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf ${\displaystyle \partial D}$ durch eine Quelle im Punkt ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}$ gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}$ die Laplace-Gleichung:

${\displaystyle \Delta u=0\quad {\mbox{in}}\,\,\mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}}$

und die Dirichlet-Randbedingung:

${\displaystyle u=-\Phi (\cdot ,z)\quad {\mbox{auf}}\,\,\partial D.}$

Mit ${\displaystyle \Phi }$ bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt ${\displaystyle z}$ beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ aus, welches ${\displaystyle D}$ enthält. Auf dem Rand ${\displaystyle \partial B}$ von ${\displaystyle B}$ messen wir die Werte der Lösung ${\displaystyle u}$ des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur ${\displaystyle u|_{\partial B}}$. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand ${\displaystyle \partial D}$ von ${\displaystyle D}$ aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator ${\displaystyle F}$ beschreiben, der den unbekannten Rand ${\displaystyle \partial D}$ auf die bekannte Spur ${\displaystyle u|_{\partial B}}$ abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

${\displaystyle F(\partial D)=u|_{\partial B}}$

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete ${\displaystyle D}$ ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

${\displaystyle \displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))}$

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion ${\displaystyle r}$. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

${\displaystyle F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \displaystyle F'}$ die Fréchet-Ableitung des Operators ${\displaystyle \displaystyle F}$ (die Existenz der Fréchet-Ableitung für ${\displaystyle \displaystyle F}$ kann gezeigt werden und ${\displaystyle \displaystyle F'}$ kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden). Diese Gleichung wird dann nach ${\displaystyle q}$ aufgelöst, wobei wir mit ${\displaystyle r+q}$ eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur

• Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart/Leipzig, ISBN 3-519-42232-8.
• Henri Cartan: Differentialrechnung. Bibliographisches Institut AG, Zürich 1974, ISBN 3-411-01442-3.