Chi-Verteilung

Die Chi-Verteilung bzw. ${\displaystyle \chi }$-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle \nu }$. Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\nu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{(\nu /2)-1}\Gamma (\nu /2)}}x^{\nu -1}\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}&{\text{für}}\ x>0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }$

heißt chi-verteilt mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter ${\displaystyle \nu }$.^[1] Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden.

Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter ${\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }$ definiert.^[2]

Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle C_{\nu }}$ Chi-quadrat-verteilt mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden ist, dann ist ${\displaystyle {\sqrt {C_{\nu }}}}$ Chi-verteilt mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden.
• Wenn ${\displaystyle X_{\nu }}$ Chi-verteilt mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden ist, dann ist ${\displaystyle X_{\nu }^{2}}$ Chi-quadrat-verteilt mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden.
• ${\displaystyle X_{\nu }}$ sei Chi-verteilt mit ${\displaystyle \nu }$ Freiheitsgraden, dann gilt ${\displaystyle P(X_{\nu }>0)=1}$, der Erwartungswert ist

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\nu }]={\sqrt {2}}{\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}$

und die Varianz ist

${\displaystyle \mathbb {Var} [X_{\nu }]=\nu -2\left({\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}\;.}$^[3]

• Wenn ${\displaystyle Z}$ standardnormalverteilt ist, dann ist ${\displaystyle |Z|}$ Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.

Beispiele

• Die Chi-Verteilung mit ${\displaystyle \nu =1}$ Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).^[4][5]
• Die Chi-Verteilung mit ${\displaystyle \nu =2}$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
• Die Chi-Verteilung mit ${\displaystyle \nu =3}$ Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
• Wenn ${\displaystyle Z}$ standardnormalverteilt ist, dann ist die auf ${\displaystyle [0,\infty )}$ gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.

Literatur

• Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, Kap. 18 Chi-Square Distributions, Including Chi and Rayleigh, S. 415–493. 
• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, χ-Verteilung (χ-distribution), S. 58. 
• Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 322, Nr. 1. 

Einzelnachweise

1. ↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 417. 
2. ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik. S. 58. 
3. ↑ Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 421. 
4. ↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 305, Nr. 10. 
5. ↑ Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, S. 156.