Skalární součin

Skalární součin^[1] je v matematice bilineární zobrazení ${\displaystyle V\times V\to T}$, kde ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle T}$, přiřazující dvojici vektorů skalár.

Značení

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a ${\displaystyle \mathbf {b} }$ jsou:

• ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
• ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$ – značení běžné ve funkcionální analýze
• ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ – starší značení, dnes již méně používané
• ${\displaystyle b\,(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ – ${\displaystyle b}$ jako bilineární forma
• ${\displaystyle \langle \mathbf {b} \mid \mathbf {a} \rangle }$ – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem ( ${\displaystyle \cdot :V\times V\to T}$ ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v ${\displaystyle n}$-rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}}$,

a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a ${\displaystyle \mathbf {b} }$ plyne nerovnost ${\displaystyle -1\leq {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\leq 1}$, tj.:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\ \cos \varphi }$,

kde ${\displaystyle \varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle }$ je úhel svíraný vektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.

Vlastnosti

pro všechny nenulové vektory ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}$ a všechna ${\displaystyle a\in T}$ platí:

• ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0}$
• ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {0} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {0} ,\mathbf {0} )=0}$
• ${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$
• ${\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$
• ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn.:

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}$

• v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí:

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}$

${\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$

Příklad

Mějme dva trojrozměrné vektory ${\displaystyle \mathbf {a} =[1,2,3]}$ a ${\displaystyle \mathbf {b} =[4,5,6]}$. Potom jejich skalární součin je:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32}$.

Aplikace

• pro dva vektory ${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i}}$ a ${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}}$, zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi ${\displaystyle \mathbf {e} }$, lze skalární součin definovat jako:

${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}}$, kde ${\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}$ je metrický tenzor (v tomto případě matice).

• pro dvě posloupnosti ${\displaystyle a,b:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ lze skalární součin definovat jako řadu:

${\displaystyle (a,b)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\overline {b_{i}}}}$, pokud řada konverguje.

• skalární součin dvou funkcí lze definovat jako integrál:

${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}\ dx}$, pokud integrál konverguje.

Reference

Související články

• Vektorový prostor
• Vektorový součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu skalární součin na Wikimedia Commons