Devatenáctiúhelník

Devatenáctiúhelník, cizím slovem nonadecagon či enneadecagon (z řec. δεκαεννιά, dekaennia - devatenáct, a γωνία, gonia - úhel), je mnohoúhelník s devatenácti úhly, vrcholy a stranami.

Číselné údaje

Součet středových úhlů je 180°, jeden středový (a zároveň vnější) úhel tedy musí být ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{19}}=18{\frac {18}{19}}^{\circ }\approx 18{,}9474^{\circ }}$. Následkem toho je jeden vnitřní úhel ${\displaystyle 180^{\circ }-18{,}9474^{\circ }\approx 161{,}0526^{\circ }}$, což lze též zapsat složeným zlomkem ${\displaystyle 161{\frac {1}{19}}^{\circ }}$. Součet vnitřních úhlů tedy bude ${\displaystyle 161{\frac {1}{19}}^{\circ }\cdot 19=3060^{\circ }}$.

Je-li α délka strany, pak:

• Obvod: ${\displaystyle P=19\,a}$
• Obsah: ${\displaystyle A={\frac {19}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{19}}\right)}$
• Min. poloměr: ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{19}}\right)}$
• Max. poloměr: ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{19}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{19}}\right)}}}$

Rýsování

Pravidelný devatenáctiúhelník nelze narýsovat pouze za pomoci pravítka a kružítka, neboť aby bylo možno daný pravidelný mnohoúhelník narýsovat, musí být všechny jeho liché dělitele být Fermatova čísla (${\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}$).

Devatenáct je dělitelné devatenácti, což je liché číslo a přitom není Fermanovo. S menší odchylkou (středový úhel se změní z ${\displaystyle 18{,}9474^{\circ }}$ na ${\displaystyle 18{,}9246^{\circ }}$, odchylka tedy ${\displaystyle 0{,}0228^{\circ }}$ a celkově ${\displaystyle 0{,}4332^{\circ }}$) jej však lze zkonstruovat ve 14 krocích:

1. Narýsujeme přímku p.
2. Zkonstruujeme kružnici k s poloměrem r a se středem v bodě I, jež se nalézá na přímce p.
3. Sestrojíme kružnici l se středem v pravém průsečíku přímky p a kružnice k ${\displaystyle J=p\cap k}$ a má
4. Sestrojíme kružnici m se středem v levém průsečíku přímky p a kružnice k ${\displaystyle K=p\cap k}$.
5. Utvoříme přímku q, jež protíná průsečíky kružnic l a m ${\displaystyle L=l\cap m}$ a ${\displaystyle M=l\cap m}$.
6. Sestrojíme kružnici n, jež má poloměr r a střed v průsečíku J.
7. Vytvoříme kružnici o, jež má poloměr r a střed v horním průsečíku kružnice k s přímkou q ${\displaystyle N=k\cap q}$.
8. Utvoříme přímku r, jež prochází průsečíky kružnice k s kružnicí n ${\displaystyle O=k\cap n}$ a ${\displaystyle P=k\cap n}$.
9. Zkonstruujeme přímku s, jež prochází průsečíky kružnice k s kružnicí o ${\displaystyle Q=k\cap o}$ a ${\displaystyle R=k\cap o}$.
10. Narýsujeme kružnici p se středem v průsečíku přímky p a s ${\displaystyle S=p\cap s}$, jež prochází bodem I.
11. Narýsujeme kružnici q se středem v bodě I, jež prochází průsečíkem S.
12. Sestrojíme přímku t, jež spojuje průsečíky kružnic p a q ${\displaystyle T=p\cap q}$ a ${\displaystyle U=p\cap q}$.
13. Zkonstruujeme přímku u, jež prochází průsečíkem K a průsečíkem přímek t a r ${\displaystyle V=t\cap r}$.
14. Přímka u nyní svírá s přímkou p úhel α. Vzdálenost mezi jejich průsečíky s kružnicí k ${\displaystyle V=u\cap k}$ a ${\displaystyle W=p\cap k}$ nyní vezmeme do kružítka a po obvodu kružnice si uděláme značky, jež následně pospojujeme.

Při tomto rýsování vytvoříme mnoho bodů, průsečíků, přímek a kružnic. Zde je jejich výčet:

• Body a průsečíky: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W
• Přímky: p, q, r, s, t, u
• Kružnice: k, l, m, n, o, p, q

Druhy devatenáctiúhelníků

Existuje celkem devět možných pravidelných devatenáctiúhelníků - jeden konvexní a osm nekonvexních neboli hvězdicovitých.

• 
  19-2
• 
  19-3
• 
  19-4
• 
  19-5
• 
  19-6
• 
  19-7
• 
  19-8

Devatenáctiúhelníková čísla

Po vzoru trojúhelníkových a čtvercových čísel lze vytvořit číselnou řadu odpovídající devatenáctiúhelníku.

Prvních deset čísel: 1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu devatenáctiúhelník na Wikimedia Commons

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ennéadécagone na francouzské Wikipedii.