Taula de derivades

En el procés de càlcul de derivades o diferenciació, es pot obtenir la derivada de qualsevol funció elemental emprant les regles de derivació i la taula de derivades de les funcions base a partir de les quals es construeixen la resta de funcions elementals.

Les derivades d'aquestes funcions base s'obtenen normalment a partir de la definició de derivada, aplicant les propietats de cada funció i amb les tècniques de càlcul de límits.

Taula de derivades

Funció F: primitiva de f	Funció f: derivada de F
Funcions elementals
${\displaystyle f(x)=k\,}$	${\displaystyle f'(x)=0\,}$
${\displaystyle f(x)=x\,}$	${\displaystyle f'(x)=1\,}$
${\displaystyle f(x)=x^{n}\,}$	${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}\,}$
${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=e^{x}\,}$	${\displaystyle f'(x)=e^{x}\,}$
${\displaystyle f(x)=\ln(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}\,}$
${\displaystyle f(x)=a^{x}\quad {\text{(amb }}a>0)\,}$	${\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln(a)\,}$
${\displaystyle f(x)=\log _{b}(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}\,}$
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{n}}}=(x^{n})^{-1}=x^{-n}\,}$	${\displaystyle f'(x)=-nx^{-n-1}\,}$
Funcions trigonomètriques
${\displaystyle f(x)=\sin(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}$
${\displaystyle f(x)=\cos(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)=-\sin(x)\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} (x)\,}$	${\displaystyle f'(x)=\sec ^{2}(x)\,}$
${\displaystyle f(x)=\sec(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)=\sec(x)\operatorname {tg} (x)\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {cosec} (x)\,}$	${\displaystyle f'(x)=-\operatorname {cosec} (x)\operatorname {cotg} (x)\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {cotg} (x)\,}$	${\displaystyle f'(x)=-\operatorname {cosec} ^{2}(x)\,}$
${\displaystyle f(x)=\arcsin(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\arccos(x)\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {arctg} (x)\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\,}$
Funcions hiperbòliques
${\displaystyle f(x)=\sinh x\,}$	${\displaystyle f'(x)=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {arsinh} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\cosh x\,}$	${\displaystyle f'(x)=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {arcosh} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {tgh} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)={\operatorname {sech} ^{2}\,x}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {artgh} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)={1 \over 1-x^{2}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {sech} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)=-\operatorname {tgh} \,x\,\operatorname {sech} \,x\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {arsech} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {cosech} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)=-\,\operatorname {cotgh} \,x\,\operatorname {cosech} \,x\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {arcosech} \,x}$	${\displaystyle f'(x)=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {cotgh} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)=-\,\operatorname {cosech} ^{2}\,x\,}$
${\displaystyle f(x)=\operatorname {arcotgh} \,x\,}$	${\displaystyle f'(x)={1 \over 1-x^{2}}\,}$

Funcions especials

Funció Gamma ${\displaystyle (\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle (\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)}$

Funció zeta de Riemann ${\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}$ ${\displaystyle (\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ primer}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ primer}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}$

Demostracions

Derivada d'una constant

En el cas de la funció constant la seva gràfica és una recta horitzontal i per tant té pendent zero a tot arreu, aquest resultat també s'obté directament en aplicar la definició de derivada a la funció constant: f(x)=c.

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {c-c}{h}}=0}$.

Derivada d'una potència entera

En cas que ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, s'obté:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}}$.

Aplicant la fórmula del binomi de Newton, agrupant els termes que tenen h elevada a una potència superior a 2 i traient h² factor comú d'aquests termes, resulta:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(x^{n}+nhx^{n-1}+h^{2}R)-x^{n}}{h}}}$

A partir d'aquí, operant s'obté:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}nx^{n-1}+hR=nx^{n-1}+\lim _{h\to 0}hR=nx^{n-1}+0}$.

Derivada d'una potència real

Pel càlcul de la derivada d'una potència real primer es transforma l'expressió:

${\displaystyle x^{r}=e^{r\ln \left(x\right)}}$

Llavors s'aplica la regla de la cadena:

${\displaystyle D\left(f\circ g\right)=\left[\left(Df\right)\circ g\right]Dg}$

Amb

${\displaystyle f=e^{x}\quad g=r\ln \left(x\right)}$

D'aquí, operant, i tenint en compe la derivada de la funció exponencial (vegeu més endavant) resulta:

${\displaystyle {\begin{aligned}Dx^{r}&=De^{r\ln \left(x\right)}\\&=\left[\left(e^{x}\right)\circ r\ln \left(x\right)\right]{\frac {r}{x}}\\&={\frac {r}{x}}e^{r\ln \left(x\right)}\\&={\frac {r}{x}}x^{r}\\&=rx^{r-1}\end{aligned}}}$

Aquesta expressió, és formalment idèntica al cas de la potència entera.

Pel cas particular de ${\displaystyle r=1/2}$ resulta:

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x\right)&={\sqrt {x}}\\&=x^{1/2}\end{aligned}}}$

Per tant: ${\displaystyle {\begin{aligned}{f}'\left(x\right)&={\frac {1}{2}}x^{\left({\frac {1}{2}}-1\right)}\\&={\frac {1}{2}}x^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{2x^{1/2}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\end{aligned}}}$

Derivada de la funció logaritme

Sigui ${\displaystyle x>0}$, aleshores es defineix la funció logaritmica com ${\displaystyle f\left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)}$, aplicant la definició de derivada i ficant els termes dins de la funció logaritme s'obté:

${\displaystyle {\begin{aligned}{f}'\left(x\right)&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\log _{a}\left(x+h\right)-\log _{a}\left(x\right)}{h}}\\&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\\&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\end{aligned}}}$

Aquesta expressió es pot transformar de la següent manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}{f}'\left(x\right)&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left[\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]^{\frac {1}{x}}\\&={\frac {1}{x}}{\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}{\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\end{aligned}}}$

Però quant ${\displaystyle h}$ tendeix a zero ${\displaystyle x/h}$ tendeix a infinit (si ${\displaystyle x>0}$, cosa que hem imposat al principi), per tant el límit es pot calcular tenint en compte la definició del nombre e:

${\displaystyle {\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}={\underset {y\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{y}}\right)^{y}=e}$

Per tant la derivada de la funció logaritme és:

${\displaystyle {f}'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(e\right)}$

O cosa que és el mateix:

${\displaystyle {f}'\left(x\right)={\frac {1}{\ln \left(a\right)}}{\frac {1}{x}}}$

tenint en compte que:

${\displaystyle \log _{a}\left(e\right)={\frac {1}{\ln \left(a\right)}}}$

Com es pot comprovar plantejant:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\log _{a}\left(e\right)\ln \left(a\right)}&=\left(a^{\log _{a}\left(e\right)}\right)^{\ln \left(a\right)}\\&=e^{\ln \left(a\right)}\\&=a\\\Rightarrow \log _{a}\left(e\right)\ln \left(a\right)&=1\\\Rightarrow \log _{a}\left(e\right)&={\frac {1}{\ln \left(a\right)}}\end{aligned}}}$

En el cas particular del logaritme natural:

${\displaystyle f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\Rightarrow {f}'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\ln \left(e\right)={\frac {1}{x}}}$

Si en comptes de la funció ${\displaystyle f(x)=\log _{a}(x)}$ definim la funció ${\displaystyle F(x)=\log _{a}(f(x))}$ (de la mateixa manera que abans imposàvem que ${\displaystyle x>0}$, ara s'ha de complir que ${\displaystyle f(x)>0}$)

Podem aplicar la regla de la cadena per calcular ${\displaystyle F'(x)}$:

${\displaystyle F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}{\frac {1}{\ln a}}\cdot f'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)\ln a}}}$

I, en concret si ${\displaystyle F(x)=\ln {\big (}f(x){\big )}}$

${\displaystyle F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}{\frac {1}{\ln e}}\cdot f'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$

Derivada de la funció exponencial

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, s'aplica la regla de la derivada de la funció inversa:

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]^{\prime }\left(x\right)={\frac {1}{{f}'\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}}}$

Amb:

${\displaystyle f\left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)\quad {f}'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(e\right)\quad f^{-1}\left(x\right)=a^{x}}$

Substituint i operant resulta:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a^{x}\right]^{\prime }&={\frac {1}{\left[{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(e\right)\right]\circ \left[a^{x}\right]}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{a^{x}}}\log _{a}\left(e\right)}}\\&={\frac {a^{x}}{\log _{a}\left(e\right)}}\end{aligned}}}$

O cosa que és el mateix:

${\displaystyle \left[a^{x}\right]^{\prime }=\ln \left(a\right)a^{x}}$

Pel cas particular de què ${\displaystyle a=e}$ resulta:

${\displaystyle \left[e^{x}\right]^{\prime }={\frac {e^{x}}{\ln \left(e\right)}}={\frac {e^{x}}{1}}=e^{x}}$

De nou, aplicant la regla de la cadena podem trobar la derivada de la funció ${\displaystyle F(x)=a^{f(x)}}$

${\displaystyle F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}=a^{f(x)}\ln a\cdot f'(x)}$

I, en concret si ${\displaystyle F(x)=e^{f(x)}}$

${\displaystyle F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}=e^{f(x)}\ln e\cdot f'(x)=e^{f(x)}f'(x)}$

Derivada de la funció ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$

Si ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ són funcions derivables i ${\displaystyle f(x)>0}$ podem resumir totes les derivades anteriors en una sola derivada utilitzant només les derivades de les funcions ${\displaystyle e^{f(x)}}$ i ${\displaystyle \ln f(x)}$, la derivada de la funció ${\displaystyle F(x)=f(x)^{g(x)}}$

Tenint en compte que podem escriure ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ com ${\displaystyle e^{g(x)\cdot \ln f(x)}}$, aleshores

${\displaystyle F'(x)=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}{\frac {d}{dx}}{\big (}g(x)\cdot \ln f(x){\big )}=f(x)^{g(x)}{\Big [}g'(x)\ln f(x)+g(x){\frac {d}{dx}}{\big (}\ln f(x){\big )}{\Big ]}=f(x)^{g(x)}{\bigg [}g'(x)\ln f(x)+g(x){\frac {f'(x)}{f(x)}}{\bigg ]}}$

Veiem que efectivament aquesta derivada ens condueix a:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{r})=x^{r}{\bigg [}r'\ln x+r{\frac {x'}{x}}{\bigg ]}=x^{r}{\bigg [}0+r{\frac {1}{x}}{\bigg ]}=r{\frac {x^{r}}{x}}=rx^{r-1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}{\bigg [}x'\ln a+x{\frac {a'}{a}}{\bigg ]}=a^{x}{\bigg [}1\ln a+0{\bigg ]}=a^{x}\ln a}$

Cal notar que la primera expressió només està definida quan ${\displaystyle x>0}$ i la segona només ho està quan ${\displaystyle a>0}$. Tot i així, pels valors de ${\displaystyle r}$ pels quals podem definir ${\displaystyle (-1)^{r}}$ (valors enters o racionals amb denominador senar), si ${\displaystyle x<0}$ podem escriure ${\displaystyle x^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{r})=(-1)^{r}{\frac {d}{dx}}(-x)^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}{\bigg [}r'\ln(-x)+r{\frac {(-x)'}{-x}}{\bigg ]}=x^{r}{\bigg [}0+r{\frac {1}{x}}{\bigg ]}=r{\frac {x^{r}}{x}}=rx^{r-1}}$

Generalitzant així la equació per a tot valor de ${\displaystyle x}$.

Les altres expressions es poden trobar de manera similar o aplicant la derivada de la funció inversa.

Derivada de les funcions trigonomètriques

Les derivades de les funcions sinus i cosinus es troben a partir de la definició de derivada, aplicant les identitats trigonomètriques de la suma de raons trigonomètriques

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \,}$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\alpha \right)-\sin \left(\beta \right)\sin(\alpha )}$

i les identitats trigonomètriques

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}=0\,}$

Un cop s'han trobat les derivades del sinus i del cosinus la derivada de la tangent es calcula aplicant la regla del quocient a la identitat trigonomètrica:

${\displaystyle \operatorname {tg} (x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$

A partir d'aqui es troben les derivades de les funcions cotangent, secant i cosecant aplicant la Regla de la raó inversa d'una funció a les identitats:

${\displaystyle \operatorname {cotg} (x)={\frac {1}{\operatorname {tg} (x)}}\quad \sec(x)={\frac {1}{\cos \left(x\right)}}\quad i\quad \operatorname {cosec} (x)={\frac {1}{\sin(x)}}}$

Els detalls de tot el procés es troben a l'article Derivació de les funcions trigonomètriques

Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques

La derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques es calculen aplicant la regla de la funció inversa a cada una de les funcions trigonomètriques i simplificant el resultat.

Derivada de les funcions hiperbòliques

Les derivades de les funcions hiperbòliques s'obtenen a partir de les seves definicions emprant la derivada de la funció ${\displaystyle F(x)=e^{f(x)}}$

${\displaystyle (\sinh x)'}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\bigg )}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh x}$

${\displaystyle (\cosh x)'}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\bigg )}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\sinh x}$

${\displaystyle (\tanh x)'}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\sinh x}{\cosh x}}{\bigg )}={\frac {(\sinh x)'(\cosh x)-(\sinh x)(\cosh x)'}{\cosh ^{2}x}}={\frac {\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x}{\cosh ^{2}x}}=1-{\frac {\sinh ^{2}x}{\cosh ^{2}x}}=1-\tanh ^{2}x}$

O, utilitzant la relació ${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x}{\cosh ^{2}x}}={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}={\hbox{sech}}^{2}x}$

Per les funcions hiperbòliques inverses fem servir la regla de la funció inversa.

${\displaystyle ({\hbox{arcsinh}}x)'}$

Denotem ${\displaystyle y={\hbox{arcsinh}}(x)\Longrightarrow x=\sinh y}$, la regla de la funció inversa ens diu que

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{dx/dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\hbox{arcsinh}}(x)={\frac {1}{d/dy(\sinh y)}}={\frac {1}{\cosh y}}={\frac {1}{\cosh({\hbox{arcsinh}}(x))}}}$

Com que ${\displaystyle \cosh x={\sqrt {1+\sinh ^{2}x}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\hbox{arcsinh}}(x)={\frac {1}{\cosh({\hbox{arcsinh}}(x))}}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(({\hbox{arcsinh}}(x)))}}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\displaystyle ({\hbox{arccosh}}x)'}$

Sigui ${\displaystyle y={\hbox{arccosh}}(x)\Longrightarrow x=\cosh y}$, la regla de la funció inversa ens diu que

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{dx/dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\hbox{arccosh}}(x)={\frac {1}{d/dy(\cosh y)}}={\frac {1}{\sinh y}}={\frac {1}{\sinh({\hbox{arccosh}}(x))}}}$

Com que ${\displaystyle \sinh x={\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\hbox{arccosh}}(x)={\frac {1}{\sinh({\hbox{arccosh}}(x))}}={\frac {1}{\sqrt {\cosh ^{2}(({\hbox{arccosh}}(x)))-1}}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle ({\hbox{arctanh}}x)'}$

Sigui ${\displaystyle y={\hbox{arctanh}}(x)\Longrightarrow x=\tanh y}$, la regla de la funció inversa ens diu que

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{dx/dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\hbox{arctanh}}(x)={\frac {1}{d/dy(\tanh y)}}={\frac {1}{1-\tanh ^{2}y}}={\frac {1}{1-\tanh ^{2}({\hbox{arctanh}}(x))}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

Vegeu també

• Regla de la cadena
• Derivació de les funcions trigonomètriques
• Derivada de la funció inversa

Referències

http://www.edicionsupc.cat/virtuals/caplln/ME01007X.htm#^{[Enllaç no actiu]}

Enllaços externs

• Taula de derivades