Sèrie de Dirichlet

Una sèrie de Dirichlet (en honor al matemàtic alemany Gustav Dirichlet) és qualsevol sèrie infinita de la forma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

La sèrie de Dirichlet més famosa és la funció zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

També és una sèrie de Dirichlet, per exemple,:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

on μ(n) és la funció de Möbius, així com altres funcions relacionades amb la funció zeta.

Propietats

Les sèries de Dirichlet es poden sumar o multiplicar de la següent manera, i aquestes definicions purament algebraiques són consistents amb els valors assolits a la regió de convergència:

• Suma: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}+b_{n}}{n^{s}}}}$
• Multiplicació: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\Bigl (}{\Bigl (}\sum _{d|n}^{n}a_{d}b_{n/d}{\Bigr )}/n^{s}{\Bigr )}}$

La multiplicació puntual descrita també s'anomena convolució de Dirichlet.

Sèrie formal de Dirichlet

Considerem un anell R, essent un cas especial l'anell dels nombres enters. Una sèrie formal de Dirichlet sobre R correspon a la suma formal:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

amb coeficients ${\displaystyle a_{n}\in R}$. La suma i multiplicació en aquest cas són definits purament formalment, sense qüestions de convergència, per les fórmules anteriors d'addició puntual i la convolució de Dirichlet. Les sèries formals de Dirichlet formen un anell algebraic.

Vegeu també

• Teorema de Wiener-Ikehara

Bibliografia

• Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, 1976. ISBN 0-387-90163-9. 
• Apostol, Tom M. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2a ed.. Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97127-0. 
• G.H. Hardy; Marcel Riesz. The General Theory of Dirichlet's Series, 1915. Cambridge University Press.