Equacions de Lotka-Volterra

Model de fases de les equacions de Lotk-Volterra.

Les equacions de Lotka-Volterra, o també conegudes com equacions de depredador-presa, són unes equacions diferencials de primer ordre que modelen l'evolució ecològica de dues poblacions d'animals: depredadors (llops) i preses (conills). Amb aquest model s'intenta explicar com funciona la coexistència de dues espècies. Aquest model va ser desenvolupat per Alfred J. Lotka al 1925 i Vito Volterra al 1926.

El model

Les poblacions de depredadors H ( t ) {\displaystyle H(t)} i preses P ( t ) {\displaystyle P(t)} satisfan el sistema d'equacions diferencial

{ d H d t = H ( a − α P ) d P d t = P ( − c + γ H ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dH}{dt}}&=&H(a-\alpha P)\\{\frac {dP}{dt}}&=&P(-c+\gamma H)\end{matrix}}\right.}

amb a , c , α {\displaystyle a,c,\alpha } i γ {\displaystyle \gamma } sent constants positives del sistema.

Si a = c {\displaystyle a=c} i α = γ {\displaystyle \alpha =\gamma } llavors una propietat fonamental d'aquestes equacions és que es preserva la quantitat total de depredadors i preses: d d t ( H ( t ) + P ( t ) ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(H(t)+P(t))=0.} En aquest cas, el sistema és hamiltonià.

Bibliografia

  • Boyce, Wylliam E.; Diprima, Richard C. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera (en castellà). 3a. Balderas 95, México, D.F.: Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores, 1996, p. 744. ISBN 968-18-0107-05.