Dinàmica relativista

La dinàmica relativista es refereix a una combinació de conceptes relativistes espai-temporals que descriuen les relacions entre el moviment i les propietats d’un sistema relativista i les forces que actuen sobre el sistema.^[1] Apareix amb la teoria de la Relativitat (Einstein, 1905) que va redefinir les relacions bàsiques d'espai i temps, així com la variació de la massa en funció de la velocitat, qüestió fonamental per a obtenir la relació d'equivalència general entre massa i energia: E = M c².

Aquesta variació de la massa ocasiona resultats ben diferents entre la dinàmica clàssica i la relativista.

Dinàmica newtoniana

Amb la invenció del Càlcul Diferencial (Isaac Newton, 1666) obté el tractament de la nova Mecànica newtoniana:

F = m · a     a = ∂v/∂t      v = ∂e/∂t

P = m · v         ∂P = m ∂v = F ∂t

Dinàmica relativista

Un concepte central en Relativitat és la variació de la massa inercial, conseqüència de les transformacions espai-temporals de Lorentz, deduïdes per Einstein en la teoria de la Relativitat Especial:

massa en repòs: m

massa inercial: M = ɣ m       ɣ = (1 – v²/c²)-1/2

Desenvolupament de ∂P = ∂(M v)

∂P = ∂M v + M ∂v = m ∂ɣ v + ɣ m ∂v = m (ɣ' ∂v v + ɣ ∂v) = m ∂v (ɣ' v + ɣ) 

Calculem el terme: ɣ' v + ɣ

Com que: ɣ' = -1/2 (1 – v²/c²)^-3/2 (-2 v/c²) = ɣ³ v/c²

ɣ' v + ɣ = ɣ³ v²/c² + ɣ = ɣ (ɣ² v²/c² + 1) = ɣ (c²/(c² - v²) v²/c² + 1) =

= ɣ (v²/(c² - v²) + 1) = ɣ (v² + c² - v²)/(c² - v²)) = ɣ c²/(c² - v²)) = ɣ ɣ² = ɣ³

Per tant, s'obté:

 ∂P = m ɣ³ ∂v = M ɣ² ∂v   (1)

Ara s'aïlla ∂v/∂t igualant 1 i l'equació de Newton ∂P = F ∂t:

 ∂v/∂t = F/(M ɣ²)   (2)

Hem obtingut l'equació anàloga en la dinàmica no relativista:

a = F/(M ɣ²) = F/M (1 – v²/c²)

Energia relativista

Es veu l'expressió de l'energia cinètica aïllant F en 2:

E = ʃ F ∂e = ʃ M ɣ² ∂v/∂t ∂e =

=ʃv m ɣ³ ∂e/∂t ∂v = m ʃv ɣ³ v ∂v =

= m ʃv (1 – v²/c²)-3/2 v ∂v = -c²/2 m ʃv (1 – v²/c²)-3/2 (-2v/c²) ∂v =

= -2 (-c² m)/2 [(1 – v²/c²)-1/2]ov = m c² (ɣ – 1) =

= m ɣ c² – m c² = M c² – m c² =

= (M – m) c²

Aquest resultat va disparar la intuïció del genial físic Albert Einstein, adonant-se que tota forma d'energia tenia idèntica expressió: equivalència general d'energia i massa.

Més tard copsaria la importància de la reformulació de la teoria de la Relativitat Especial que va fer el genial geòmetra Hermann Minkowski: rotacions ortogonals en mètrica pseudo-euclídia.

Finalment, s'enfrontaria a la tasca de formular la gravitació generalitzant la idea de Minkowski en la geometria no-euclídia del genial matemàtic Bernhard Riemann: mètrica pseudo-riemaniana, en què s'interpreta la gravitació en termes de curvatura de l'espai-temps. Hermann Minkowski havia mort prematurament, però la col·laboració del seu col·lega, el matemàtic David Hilbert, amb Einstein seria clau en la formulació final del tractament geomètric de la gravitació: Relativitat General.

Referències